【线段树 DP】Codeforces Round 721 (Div. 2) E. Partition Game
2021-05-24 20:28:00 # ACM

—题意

题链

题意：定义一个数字 $num$ 在一个数组中的贡献为 最后一次出现的下标 减去 第一次出现的下标；

定义一个数组的价值 $cost$ 为该数组中出现过的数字 $num$ 的价值总和；

如数组 $[2,2,3,2,3]$，**$cost$** $= (4-1)+(5-3) = 5$；

给定 $n$ ,$mv,以及长度为 $n$ 的数组 **$a[]$**；

求将 $a[]$ 分成 $m$ 段数组产生的最小 $cost$ 总和；

—瞎想

$dp[i][j]$ 表示将前 $j$ 个数字分为 $i$ 段产生的最小 $cost$；

$c[i][j]$ 表示数组下标 $[i,j]$ 划分为一段的贡献；

那么 $dp[i][j] = min( dp[i-1][k] + c[k+1][j] )$ 其中 $k$ 小于 $j$，按照这样暴力来一遍，哦吼~,T飞!；

既然 $dp$ 方程写出来了，考虑如何优化；

—优化

对于上面所举的例子 $[2,2,3,2,3]$，也可以等于 $cost = (2-1)+(4-2)+(5-3)$；

也就是将某个数字的 $num$ 细分，数字 $2$ 就是 ( 这次出现位置 $-$ 上次出现位置 ) 的总和；

$dp[i]$ 都是由 $dp[i-1]$ 而来的，也就是外层 $for$ 层数 $i$ ；

内层 $for$ 新加入的数字 $a[j]$，也就是移动 $j$ 指针，考虑 $dp$ 式子右侧中 $dp[i-1][k] + c[k+1][j]，(k < j)$；

每移动一次 $j$ 指针，记 $a[j]$ 上一次出现的位置为 $pos$，如果将 $[pos,j]$ 作为新的一段，那么 $dp[i-1][ 0 ~ pos-1 ]$ 的值都需要加上 $j-pos$；

此时的 $k$ 在 $[0,j-1]$ 范围内，需要查找 $[0,j-1]$ 范围内的最小值；

所以用线段树维护区间最小值来优化$dp$，每次移动 $j$ 指针复杂度为$logn$，全局 $O(nmlogn)$；

—代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ls rt<<1
#define rs rt<<1|1
#define LL long long
#define PI acos(-1.0)
#define eps 1e-8
#define Pair pair<double,double>
// notice
#define mod 1000000007
#define MAXN 1e18
#define MS 35009
 
LL n,m;
LL a[MS]; // 原数组 
LL tpos[MS];
LL pre[MS]; // 记录位置 i 的上一次出现相同数字的位置 
LL p[MS<<2]; // 用于线段树 
LL la[MS<<2]; 
LL dp[109][MS];

// 线段树这五个函数为模板，不需要为题设做任何改变 

void build(int l,int r,int rt){
	p[rt] = la[rt] = 0;
	if(l == r) return;
	int m = l+r>>1;
	build(l,m,ls);
	build(m+1,r,rs);
}

void push_up(int rt){
	p[rt] = min(p[ls],p[rs]);
}

void push_down(int rt){
	if(la[rt]){
		p[ls] += la[rt];
		p[rs] += la[rt];
		la[ls] += la[rt];
		la[rs] += la[rt];
		la[rt] = 0;
	}
}

void update(int L,int R,int l,int r,int rt,LL val){
	if(L <= l && r <= R){
		p[rt] += val;
		la[rt] += val;
		return;
	}
	push_down(rt);
	int m = l+r>>1;
	if(m >= L) update(L,R,l,m,ls,val);
	if(m <  R) update(L,R,m+1,r,rs,val);
	push_up(rt);
}

LL query(int L,int R,int l,int r,int rt){
	if(L <= l && r <= R){
		return p[rt];
	}
	push_down(rt);
	int m = l+r>>1;
	LL ans = MAXN;
	if(m >= L) ans = min(ans,query(L,R,l,m,ls));
	if(m <  R) ans = min(ans,query(L,R,m+1,r,rs));
	return ans;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin >> a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){ // 求上一次出现的 pos 
		pre[i] = tpos[a[i]];
		tpos[a[i]] = i;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		build(0,n,1);
		for(int j=1;j<=n;j++){ // 预先将上一层 dp 信息存入线段树 
			update(j,j,0,n,1,dp[i-1][j]);
		}
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(pre[j]) update(0,pre[j]-1,0,n,1,j-pre[j]);
			if(i == 1) dp[i][j] = query(0,0,0,n,1); // 分为 1 段的时候需要初始化 
			else dp[i][j] = query(0,j-1,0,n,1);
		}
		
//		cout << "==== " << i << " ====\n";
//		for(int j=1;j<=n;j++){
//			cout << dp[i][j] << " ";
//		}
//		cout << "\n";
		
	}
	cout << dp[m][n] << "\n";

	return 0;
}

Prev
2021-05-24 20:28:00 # ACM
Next